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如何因式分解，因式分解的基本方法

小知识


如何因式分解 因式分解， 在数学中一般理解为把一个多项式分解为两个或多个的因式的过程 。 在这个过后会得出一堆较原式简单的多项式的积 。 例如多项式x2-4 可被因式分解为(x+2)(x-2) 。

在高等数学上因式分解有一些重要结论， 在初等数学层面上证明很困难， 但是理解很容易 。
1、因式分解与解高次方程有密切的关系 。 对于一元一次方程和一元二次方程， 初中已有相对固定和容易的方法 。 在数学上可以证明， 对于一元三次方程和一元四次方程， 也有固定的公式可以求解 。 只是因为公式过于复杂， 在非专业领域没有介绍 。 对于分解因式， 三次多项式和四次多项式也有固定的分解方法， 只是比较复杂 。 对于五次以上的一般多项式， 已经证明不能找到固定的因式分解法， 五次以上的一元方程也没有固定解法 。
2 、所有的三次和三次以上的一元多项式在实数范围内都可以因式分解， 所有的二次或二次以上的一元多项式在复数范围内都可以因式分解 。 这看起来或许有点不可思议 。 比如X+1,这是一个一元四次多项式， 看起来似乎不能因式分解 。 但是它的次数高于3， 所以一定可以因式分解 。 如果有兴趣， 你也可以用待定系数法将其分解， 只是分解出来的式子并不整洁 。 （这是因为， 由代数基本定理可知n次一元多项式总是有n个根， 也就是说， n次一元多项式总是可以分解为n个一次因式的乘积 。 并且还有一条定理：实系数多项式的虚数根两两共轭的， 将每对共轭的虚数根对应的一次因式相乘， 可以得到二次的实系数因式， 从而这条结论也就成立了 。
3 、因式分解虽然没有固定方法， 但是求两个多项式的公因式却有固定方法 。 因式分解很多时候就是用来提公因式的 。 寻找公因式可以用辗转相除法来求得 。 标准的辗转相除技能对于中学生来说难度颇高， 但是中学有时候要处理的多项式次数并不太高， 所以反复利用多项式的除法也可以但比较笨， 不过能有效地解决找公因式的问题 。
4、 因式分解是很困难的， 但初中所接触的只是因式分解很简单的一部分， 真正的因式分解需要研究生的水准， 抽象代数在因式分解上有重要的应用， 大家可以尝试因式分解x^n-1， 这是一道经典的考题曾经在1978年全国奥数竞赛中出现 。

因式分解没有普遍适用的方法， 初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法 。 而在竞赛上， 又有拆项和添减项法， 十字相乘法， 待定系数法， 双十字相乘法， 对称多项式， 轮换对称多项式法， 余式定理法， 求根公式法， 换元法， 长除法， 短除法， 除法等 。
注意四原则：
1．分解要彻底（是否有公因式， 是否可用公式）
2．最后结果只有小括号
因式分解3．最后结果中多项式首项系数为正
归纳方法：
1．提公因式法 。
2．运用公式法 。
3．分组分解法 。
4．拼凑法 。
5．组合分解法 。
6．十字相乘法 。
7．双十字相乘法 。
8．配方法 。
9．拆项补项法 。
10．换元法 。
11．长除法 。
12．求根法 。
13．图象法 。
14．主元法 。
15．待定系数法 。
16．特殊值法 。
17．因式定理法 。
基本方法
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式， 公因式可以是单项式， 也可以是多项式 。
如果一个多项式的各项有公因式， 可以把这个公因式提出来， 从而将多项式化成两个因式乘积的形式， 这种分解因式的方法叫做提取公因式 。 [1]
具体方法：当各项系数都是整数时， 公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母， 而且各字母的指数取次数最低的 。 当各项的系数有分数时， 公因式系数为各分数的最大公约数 。 如果多项式的第一项是负的， 一般要提出“-”号， 使括号内的第一项的系数成为正数 。 提出“-”号时， 多项式的各项都要变号 。

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