草丁图书馆

  1. 首页 > 生活杂烩 >

如何因式分解，因式分解的基本方法( 五 )

小知识


口诀：找准公因式， 一次要提尽；全家都搬走， 留1把家守；提负要变号， 变形看奇偶 。
参考资料：

如何因式分解？ (ab+b2)-(a2-b2)
=b(a+b)-(a+b)(a-b)
=(a+b)[b-(a-b)]
=(a+b)[b-a+b]
=(a+b)(2b-a)
怎样因式分解 因式分解的十二种方法
把一个多项式化成几个整式的积的形式， 这种变形叫做把这个多项式因式分解 。 因式分解的方法多种多样， 现总结如下：
1、 提公因法
如果一个多项式的各项都含有公因式， 那么就可以把这个公因式提出来， 从而将多项式化成两个因式乘积的形式 。
例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)
x -2x -x=x(x -2x-1)
2、 应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系， 如果把乘法公式反过来， 那么就可以用来把某些多项式分解因式 。
例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)
解：a +4ab+4b =（a+2b）
3、 分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式， 可以先把它前两项分成一组， 并提出公因式a， 把它后两项分成一组， 并提出公因式b， 从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n， 从而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m +5n-mn-5m
解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n
= (m -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、 十字相乘法
对于mx +px+q形式的多项式， 如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p， 则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x -19x-6
分析： 1 -3
7 2
2-21=-19
解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)
5、配方法
对于那些不能利用公式法的多项式， 有的可以利用将其配成一个完全平方式， 然后再利用平方差公式， 就能将其因式分解 。
例5、分解因式x +3x-40
解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40
=(x+ ) -( )
=(x+ + )(x+ - )
=(x+8)(x-5)
6、拆、添项法
可以把多项式拆成若干部分， 再用进行因式分解 。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、 换元法
有时在分解因式时， 可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数， 然后进行因式分解， 最后再转换回来 。
例7、分解因式2x -x -6x -x+2
解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x
=x [2(x + )-(x+ )-6
令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6
= x [2(y -2)-y-6]
= x (2y -y-10)
=x (y+2)(2y-5)
=x (x+ +2)(2x+ -5)
= (x +2x+1) (2x -5x+2)
=(x+1) (2x-1)(x-2)
8、 求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6
解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0
通过综合除法可知， f(x)=0根为 ， -3， -2， 1
则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、 图象法
令y=f(x)， 做出函数y=f(x)的图象， 找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ， 则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例9、因式分解x +2x -5x-6
解：令y= x +2x -5x-6
作出其图象， 见右图， 与x轴交点为-3， -1， 2
则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、 主元法
先选定一个字母为主元， 然后把各项按这个字母次数从高到低排列， 再进行因式分解 。
例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)
分析：此题可选定a为主元， 将其按次数从高到低排列
解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)
=(b-c) [a -a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、 利用特殊值法
将2或10代入x， 求出数P， 将数P分解质因数， 将质因数适当的组合， 并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式， 将2或10还原成x， 即得因式分解式 。
例11、分解因式x +9x +23x+15
解：令x=2， 则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105

推荐阅读


上一篇：如何练肩，练肩后束的动作有哪些

下一篇：如何手冲，怎样手冲才能模拟真实