完全平方数有哪些，常用完全平方数表
什么是完全平方数？ 完全平方数是这样一种数:它可以写成一个正整数的平方 。 例如,36是6×6,49是7×7 。 36 ， 49就是完全平方数
(一)完全平方数的性质
一个数如果是另一个整数的完全平方 ， 那麼我们就称这个数为完全平方数 ， 也叫做平方数 。 例如：
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…
观察这些完全平方数 ， 可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识 。 下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：
性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9 。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数 ， 十位数字为偶数 。
证明 奇数必为下列五种形式之一：
10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9
分别平方后 ， 得
(10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1
(10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9
(10a+5)=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5
(10a+7)=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9
(10a+9)=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1
综上各种情形可知：奇数的平方 ， 个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数 。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数 ， 则它的个位数字一定是6；反之 ， 如果完全平方数的个位数字是6 ， 则它的十位数字一定是奇数 。
证明 已知=10k+6 ， 证明k为奇数 。 因为的个位数为6 ， 所以m的个位数为4或6 ， 於是可设m=10n+4或10n+6 。 则
10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6
或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6
即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1
或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3
∴ k为奇数 。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数 ， 而个位数字不是6 ， 那麼这个数一定不是完全平方数 。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6 ， 则它的十位数字是偶数 。
性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1 。
这是因为 (2k+1)=4k(k+1)+1
(2k)=4
性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型 。
在性质4的证明中 ， 由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数 。
性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1 。
因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1, 3m+2 。 平方后 ， 分别得
(3m)=9=3k
(3m+1)=9+6m+1=3k+1
(3m+2)=9+12m+4=3k+1
同理可以得到：
性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型 ， 能被5整除的数的平方为5k型 。
性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9 。
除了上面关於个位数 ， 十位数和余数的性质之外 ， 还可研究完全平方数各位数字之和 。 例如 ， 256它的各位数字相加为2+5+6=13 ， 13叫做256的各位数字和 。 如果再把13的各位数字相加：1+3=4 ， 4也可以叫做256的各位数字的和 。 下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加 ， 如果得到的数字之和不是一位数 ， 就把所得的数字再相加 ， 直到成为一位数为止 。 我们可以得到下面的命题：
一个数的数字和等於这个数被9除的余数 。
下面以四位数为例来说明这个命题 。
设四位数为 ， 则
= 1000a+100b+10c+d
= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)
= 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
显然 ， a+b+c+d是四位数被9除的余数 。
对於n位数 ， 也可以仿此法予以证明 。
关於完全平方数的数字和有下面的性质：
性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9 。
证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4这几种形式 ， 而
(9k)=9(9)+0
(9k±1)=9(9±2k)+1
(9k±2)=9(9±4k)+4
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