完全平方数有哪些，常用完全平方数表( 二 )
(9k±3)=9(9±6k)+9
(9k±4)=9(9±8k+1)+7
除了以上几条性质以外 ， 还有下列重要性质：
性质10：为完全平方数的充要条件是b为完全平方数 。
证明 充分性：设b为平方数 ， 则
==(ac)
必要性：若为完全平方数 ， = ， 则
性质11：如果质数p能整除a ， 但不能整除a ， 则a不是完全平方数 。
证明 由题设可知 ， a有质因数p ， 但无因数 ， 可知a分解成标准式时 ， p的次方为1 ， 而完全平方数分解成标准式时 ， 各质因数的次方均为偶数 ， 可见a不是完全平方数 。
性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数 ， 即若
<k<(n+1)
则k一定不是完全平方数 。
性质13：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n本身) 。
(二)重要结论
1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数；
2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；
3.个位数是6 ， 十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；
4.形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；
5.形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；
6.形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；
7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数；
8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数 。
(三)范例
[例1]：一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数 ， 求此数 。
解：设此自然数为x ， 依题意可得
(m,n为自然数)
(2)-(1)可得
∴n>m
(
但89为质数 ， 它的正因数只能是1与89 ， 於是 。 解之 ， 得n=45 。 代入(2)得 。 故所求的自然数是1981 。
[例2]：求证：四个连续的整数的积加上1 ， 等於一个奇数的平方(1954年基辅数学竞赛题) 。
分析 设四个连续的整数为 ， 其中n为整数 。 欲证
是一奇数的平方 ， 只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可 。
证明 设这四个整数之积加上1为m ， 则
而n(n+1)是两个连续整数的积 ， 所以是偶数；又因为2n+1是奇数 ， 因而n(n+1)+2n+1是奇数 。 这就证明了m是一个奇数的平方 。
[例3]：求证：11,111,1111,这串数中没有完全平方数(1972年基辅数学竞赛题) 。
分析 形如的数若是完全平方数 ， 必是末位为1或9的数的平方 ， 即
或
在两端同时减去1之后即可推出矛盾 。
证明 若 ， 则
因为左端为奇数 ， 右端为偶数 ， 所以左右两端不相等 。
若 ， 则
因为左端为奇数 ， 右端为偶数 ， 所以左右两端不相等 。
综上所述 ， 不可能是完全平方数 。
另证 由为奇数知 ， 若它为完全平方数 ， 则只能是奇数的平方 。 但已证过 ， 奇数的平方其十位数字必是偶数 ， 而十位上的数字为1 ， 所以不是完全平方数 。
[例4]：试证数列49,4489,444889, 的每一项都是完全平方数 。
证明
=
=++1
=4+8+1
=4()(9+1)+8+1
=36 ()+12+1
=(6+1)
即为完全平方数 。
[例5]：用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？
解：设由300个2和若干个0组成的数为A ， 则其数字和为600
3｜600 ∴3｜A
此数有3的因数 ， 故9｜A 。 但9｜600 ， ∴矛盾 。 故不可能有完全平方数 。
[例6]：试求一个四位数 ， 它是一个完全平方数 ， 并且它的前两位数字相同 ， 后两位数字也相同(1999小学数学世界邀请赛试题) 。
解：设此数为
此数为完全平方 ， 则必须是11的倍数 。 因此11｜a + b ， 而a,b为0,1,2,9 ， 故共有(2,9), (3,8), (4,7),(9,2)等8组可能 。
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