完全平方数有哪些，常用完全平方数表( 六 )
分析 形如的数若是完全平方数 ， 必是末位为1或9的数的平方 ， 即
或
在两端同时减去1之后即可推出矛盾 。
证明 若 ， 则
因为左端为奇数 ， 右端为偶数 ， 所以左右两端不相等 。
若 ， 则
因为左端为奇数 ， 右端为偶数 ， 所以左右两端不相等 。
综上所述 ， 不可能是完全平方数 。
另证 由为奇数知 ， 若它为完全平方数 ， 则只能是奇数的平方 。 但已证过 ， 奇数的平方其十位数字必是偶数 ， 而十位上的数字为1 ， 所以不是完全平方数 。
[例4]：试证数列49,4489,444889, 的每一项都是完全平方数 。
证明
=
=++1
=4+8+1
=4()(9+1)+8+1
=36 ()+12+1
=(6+1)
即为完全平方数 。
[例5]：用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？
解：设由300个2和若干个0组成的数为A ， 则其数字和为600
3｜600 ∴3｜A
此数有3的因数 ， 故9｜A 。 但9｜600 ， ∴矛盾 。 故不可能有完全平方数 。
[例6]：试求一个四位数 ， 它是一个完全平方数 ， 并且它的前两位数字相同 ， 后两位数字也相同(1999小学数学世界邀请赛试题) 。
解：设此数为
此数为完全平方 ， 则必须是11的倍数 。 因此11｜a + b ， 而a,b为0,1,2,9 ， 故共有(2,9), (3,8), (4,7),(9,2)等8组可能 。
直接验算 ， 可知此数为7744=88 。
[例7]：求满足下列条件的所有自然数：
(1)它是四位数 。
(2)被22除余数为5 。
(3)它是完全平方数 。
解：设 ， 其中n,N为自然数 ， 可知N为奇数 。
11｜N - 4或11｜N + 4
或
k = 1
k = 2
k = 3
k = 4
k = 5
所以此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025 。
[例8]：甲、乙两人合养了n头羊 ， 而每头羊的卖价又恰为n元 ， 全部卖完后 ， 两人分钱方法如下：先由甲拿十元 ， 再由乙拿十元 ， 如此轮流 ， 拿到最后 ， 剩下不足十元 ， 轮到乙拿去 。 为了平均分配 ， 甲应该补给乙多少元(第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)？
解：n头羊的总价为元 ， 由题意知元中含有奇数个10元 ， 即完全平方数的十位数字是奇数 。 如果完全平方数的十位数字是奇数 ， 则它的个位数字一定是6 。 所以 ， 的末位数字为6 ， 即乙最后拿的是6元 ， 从而为平均分配 ， 甲应补给乙2元 。
[例9]：矩形四边的长度都是小於10的整数(单位：公分) ， 这四个长度数可构成一个四位数 ， 这个四位数的千位数字与百位数字相同 ， 并且这四位数是一个完全平方数 ， 求这个矩形的面积(1986年缙云杯初二数学竞赛题) 。
解：设矩形的边长为x,y ， 则四位数
∵N是完全平方数 ， 11为质数 ∴x+y能被11整除 。
又 ,得x+y=11 。
∴∴9x+1是一个完全平方数 ， 而 ， 验算知x=7满足条件 。 又由x+y=11得 。
[例10]：求一个四位数 ， 使它等於它的四个数字和的四次方 ， 并证明此数是唯一的 。
解：设符合题意的四位数为 ， 则 ， ∴为五位数 ， 为三位数 ， ∴ 。 经计算得 ， 其中符合题意的只有2401一个 。
[例11]：求自然数n ， 使的值是由数字0,2,3,4,4,7,8,8,9组成 。
解：显然 ， 。 为了便於估计 ， 我们把的变化范围放大到 ， 於是 ， 即 。 ∵ ， ∴ 。
另一方面 ， 因已知九个数码之和是3的倍数 ， 故及n都是3的倍数 。 这样 ， n只有24,27,30三种可能 。 但30结尾有六个0 ， 故30不合要求 。 经计算得
故所求的自然数n = 27 。
(四)讨论题
1.(1986年第27届IMO试题)
推荐阅读
- b2b网站平台有哪些，免费b2b网站模板
- 中国的平原有哪些，中国10大平原面积排名
- 网络推广有哪些网站，网络推广哪个平台
- dnf：平民和土豪的贫富差距有多大？3件逼走105装备！
- 夜雨丨龙泽平：梦见了父亲
- 和平精英：特种兵如何提升键位和灵敏度？
- 完全变态的昆虫有哪些，为什么大多数昆虫完全变态
- 代驾有哪些平台，微代驾和e代驾哪个好
- 直播电商平台有哪些，十大直播电商平台
- 笑的好处有哪些，平时多笑有什么好处