完全平方数有哪些，常用完全平方数表( 五 )
(3m)=9=3k
(3m+1)=9+6m+1=3k+1
(3m+2)=9+12m+4=3k+1
同理可以得到：
性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型 ， 能被5整除的数的平方为5k型 。
性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9 。
除了上面关於个位数 ， 十位数和余数的性质之外 ， 还可研究完全平方数各位数字之和 。 例如 ， 256它的各位数字相加为2+5+6=13 ， 13叫做256的各位数字和 。 如果再把13的各位数字相加：1+3=4 ， 4也可以叫做256的各位数字的和 。 下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加 ， 如果得到的数字之和不是一位数 ， 就把所得的数字再相加 ， 直到成为一位数为止 。 我们可以得到下面的命题：
一个数的数字和等於这个数被9除的余数 。
下面以四位数为例来说明这个命题 。
设四位数为 ， 则
= 1000a+100b+10c+d
= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)
= 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
显然 ， a+b+c+d是四位数被9除的余数 。
对於n位数 ， 也可以仿此法予以证明 。
关於完全平方数的数字和有下面的性质：
性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9 。
证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4这几种形式 ， 而
(9k)=9(9)+0
(9k±1)=9(9±2k)+1
(9k±2)=9(9±4k)+4
(9k±3)=9(9±6k)+9
(9k±4)=9(9±8k+1)+7
除了以上几条性质以外 ， 还有下列重要性质：
性质10：为完全平方数的充要条件是b为完全平方数 。
证明 充分性：设b为平方数 ， 则
==(ac)
必要性：若为完全平方数 ， = ， 则
性质11：如果质数p能整除a ， 但不能整除a ， 则a不是完全平方数 。
证明 由题设可知 ， a有质因数p ， 但无因数 ， 可知a分解成标准式时 ， p的次方为1 ， 而完全平方数分解成标准式时 ， 各质因数的次方均为偶数 ， 可见a不是完全平方数 。
性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数 ， 即若
<k<(n+1)
则k一定不是完全平方数 。
性质13：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n本身) 。
(二)重要结论
1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数；
2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；
3.个位数是6 ， 十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；
4.形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；
5.形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；
6.形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；
7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数；
8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数 。
(三)范例
[例1]：一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数 ， 求此数 。
解：设此自然数为x ， 依题意可得
(m,n为自然数)
(2)-(1)可得
∴n>m
(
但89为质数 ， 它的正因数只能是1与89 ， 於是 。 解之 ， 得n=45 。 代入(2)得 。 故所求的自然数是1981 。
[例2]：求证：四个连续的整数的积加上1 ， 等於一个奇数的平方(1954年基辅数学竞赛题) 。
分析 设四个连续的整数为 ， 其中n为整数 。 欲证
是一奇数的平方 ， 只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可 。
证明 设这四个整数之积加上1为m ， 则
而n(n+1)是两个连续整数的积 ， 所以是偶数；又因为2n+1是奇数 ， 因而n(n+1)+2n+1是奇数 。 这就证明了m是一个奇数的平方 。
[例3]：求证：11,111,1111,这串数中没有完全平方数(1972年基辅数学竞赛题) 。
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