完全平方数有哪些，常用完全平方数表( 三 )
直接验算 ， 可知此数为7744=88 。
[例7]：求满足下列条件的所有自然数：
(1)它是四位数 。
(2)被22除余数为5 。
(3)它是完全平方数 。
解：设 ， 其中n,N为自然数 ， 可知N为奇数 。
11｜N - 4或11｜N + 4
或
k = 1
k = 2
k = 3
k = 4
k = 5
所以此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025 。
[例8]：甲、乙两人合养了n头羊 ， 而每头羊的卖价又恰为n元 ， 全部卖完后 ， 两人分钱方法如下：先由甲拿十元 ， 再由乙拿十元 ， 如此轮流 ， 拿到最后 ， 剩下不足十元 ， 轮到乙拿去 。 为了平均分配 ， 甲应该补给乙多少元(第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)？
解：n头羊的总价为元 ， 由题意知元中含有奇数个10元 ， 即完全平方数的十位数字是奇数 。 如果完全平方数的十位数字是奇数 ， 则它的个位数字一定是6 。 所以 ， 的末位数字为6 ， 即乙最后拿的是6元 ， 从而为平均分配 ， 甲应补给乙2元 。
[例9]：矩形四边的长度都是小於10的整数(单位：公分) ， 这四个长度数可构成一个四位数 ， 这个四位数的千位数字与百位数字相同 ， 并且这四位数是一个完全平方数 ， 求这个矩形的面积(1986年缙云杯初二数学竞赛题) 。
解：设矩形的边长为x,y ， 则四位数
∵N是完全平方数 ， 11为质数 ∴x+y能被11整除 。
又 ,得x+y=11 。
∴∴9x+1是一个完全平方数 ， 而 ， 验算知x=7满足条件 。 又由x+y=11得 。
[例10]：求一个四位数 ， 使它等於它的四个数字和的四次方 ， 并证明此数是唯一的 。
解：设符合题意的四位数为 ， 则 ， ∴为五位数 ， 为三位数 ， ∴ 。 经计算得 ， 其中符合题意的只有2401一个 。
[例11]：求自然数n ， 使的值是由数字0,2,3,4,4,7,8,8,9组成 。
解：显然 ， 。 为了便於估计 ， 我们把的变化范围放大到 ， 於是 ， 即 。 ∵ ， ∴ 。
另一方面 ， 因已知九个数码之和是3的倍数 ， 故及n都是3的倍数 。 这样 ， n只有24,27,30三种可能 。 但30结尾有六个0 ， 故30不合要求 。 经计算得
故所求的自然数n = 27 。
(四)讨论题
1.(1986年第27届IMO试题)
设正整数d不等於2,5,13 ， 求证在集合{2,5,13,d}中可以找到两个不同的元素a , b ， 使得ab -1不是完全平方数 。
2.求k的最大值
什么叫完全平方数 如果一个整数是另外一个整数的平方 ， 那么该数被称为完全平方数 。
本质：分解质因数后 ， 每种质因数都是偶数个 。
性质：偶指奇因
1、完全平方数的分解质因数中 ， 每种质因数的指数都是偶数 ， 反之成立 。
2、完全平方数的因数个数有奇数个 ， 反之成立 。
3、因数个数为3的一定是质数的平方 。
扩展资料
重要结论：
（1）个位数是2、3、7、8的整数一定不是完全平方数；
（2）个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；
（3）个位数是6 ， 十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；
（4）形如3n＋2型的整数一定不是完全平方数；
（5）形如4n＋2和4n＋3型的整数一定不是完全平方数；
（6）形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；
（7）形如8n＋2 ， 8n＋3 ， 8n＋5 ， 8n＋6 ， 8n＋7型的整数一定不是完全平方数；
（8）数字和是2、3、5、6、8的整数一定不是完全平方数；
（9）四平方和定理：每个正整数均可表示为4个整数的平方和；
（10）完全平方数的因数个数一定是奇数 。
参考资料来源：
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