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如何证明勾股定理，勾股定理是怎么得到的( 六 )

小知识



(a) (b)

图十

证明六

图十一

图十一中 ， 我们将中间的直角三角形 ABC 以 CD 分成两部分 ， 其中 D C 为直角 ， D 位於 AB 之上并且 CD ^ AB 。 设 a = CB ， b = AC ， c = AB ， x = BD ， y = AD 。 留意图中的三个三角形都是互相相似的 ， 并且 D DBC ~ D CBA ~ D DCA ， 所以

= 和 =
由此得 a2 = cx 和 b2 = cy

将两式结合 ， 得 a2 + b2 = cx + cy = c(x + y) = c2 。 定理得证 。

证明六可以说是很特别的 ， 因为它是本文所有证明中 ， 唯一一个证明没有使用到面积的概念 。 我相信在一些旧版的教科书中 ， 也曾使用过证明六作为勾股定理的证明 。 不过由於这个证明需要相似三角形的概念 ， 而且又要将两个三角形翻来覆去 ， 相当复杂 ， 到今天已很少教科书采用 ， 似乎已被人们日渐淡忘了！

可是 ， 如果大家细心地想想 ， 又会发现这个证明其实和证明一（即欧几里得的证明）没有分别！虽然这个证明没有提及面积 ， 但 a2 = cx 其实就是表示 BC 上正方形的面积等於由 AB 和 BD 两边所组成的长方形的面积 ， 这亦即是图一中黄色的部分 。 类似地 ， b2 = cy 亦即是图一中深绿色的部分 。 由此看来 ， 两个证明都是依据相同的原理做出来的！

证明七

(a) (b) (c)

图十二

在图十二(a)中 ， 我们暂时未知道三个正方形面积之间有甚麼直接的关系 ， 但由於两个相似图形面积之比等於它们对应边之比的平方 ， 而任何正方形都相似 ， 所以我们知道面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2 。

不过 ， 细心地想想就会发现 ， 上面的推论中 ， 「正方形」的要求是多余的 ， 其实只要是一个相似的图形 ， 例如图十二(b)中的半圆 ， 或者是图十二(c)中的古怪形状 ， 只要它们互相相似 ， 那麼面积 I : 面积 II : 面积 III 就必等於 a2 : b2 : c2了！

在芸芸众多的相似图形中 ， 最有用的 ， 莫过於与原本三角形相似的直角三角形了 。

(a) (b)

图十三

在图十三(a)中 ， 我在中间的直角三角形三边上分别画上三个和中间三角形相似的直角三角形 。 留意：第 III 部分其实和原本三角形一样大 ， 所以面积亦相等；如果我们从三角形直角的顶点引一条垂直线至斜边 ， 将中间的三角形分成两分 ， 那麼我们会发现图十三(a)的面积 I 刚好等於中间三角形左边的面积 ， 而面积 II 亦刚好等於右边的面积 。 由图十三(b)可以知道：面积 I + 面积 II = 面积 III 。 与此同时 ， 由於面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2 ， 所以 a2 + b2 = c2 。
怎样证明勾股定理 欧几里得证法：
在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明 。 设△ABC为一直角三角形 ， 其中A为直角 。 从A点划一直线至对边 ， 使其垂直于对边 。 延长此线把对边上的正方形一分为二 ， 其面积分别与其余两个正方形相等 。
在这个定理的证明中 ， 我们需要如下四个辅助定理：
1、如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等 ， 则两三角形全等 。 （SAS）
2、三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半 。
3、任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积 。
4、任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3） 。

证明的思路为：从A点划一直线至对边 ， 使其垂直于对边 。 延长此线把对边上的正方形一分为二 ， 把上方的两个正方形 ， 通过等高同底的三角形 ， 以其面积关系 ， 转换成下方两个同等面积的长方形 。

设△ABC为一直角三角形 ， 其直角为∠CAB 。
其边为BC、AB和CA ， 依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH 。

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