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如何证明勾股定理，勾股定理是怎么得到的( 五 )

小知识



这个证明是由三国时代魏国的数学家刘徽所提出的 。 在魏景元四年（即公元 263 年） ， 刘徽为古籍《九章算术》作注释 。 在注释中 ， 他画了一幅像图五(b)中的图形来证明勾股定理 。 由於他在图中以「青出」、「朱出」表示黄、紫、绿三个部分 ， 又以「青入」、「朱入」解释如何将斜边正方形的空白部分填满 ， 所以后世数学家都称这图为「青朱入出图」 。 亦有人用「出入相补」这一词来表示这个证明的原理 。

在历史上 ， 以「出入相补」的原理证明勾股定理的 ， 不只刘徽一人 ， 例如在印度、在阿拉伯世界、甚至乎在欧洲 ， 都有出现过类似的证明 ， 只不过他们所绘的图 ， 在外表上 ， 或许会和刘徽的图有些少分别 。 下面的图六 ， 就是将图五(b)和图五(c)两图结合出来的 。 留意我经已将小正方形重新画在三角形的外面 。 看一看图六 ， 我们曾经见过类似的图形吗？

图六

其实图六不就是图一吗？它只不过是将图一从另一个角度画出罢了 。 当然 ， 当中分割正方形的方法就有所不同 。

顺带一提 ， 证明四比之前的证明有一个很明显的分别 ， 证明四没有计算的部分 ， 整个证明就是单靠移动几块图形而得出 。 我不知道大家是否接受这些没有任何计算步骤的「证明」 ， 不过 ， 我自己就非常喜欢这些「无字证明」了 。

图七

在多种「无字证明」中 ， 我最喜欢的有两个 。 图七是其中之一 。 做法是将一条垂直线和一条水平线 ， 将较大直角边的正方形分成 4 分 。 之后依照图七中的颜色 ， 将两个直角边的正方形填入斜边正方形之中 ， 便可完成定理的证明 。

事实上 ， 以类似的「拼图」方式所做的证明非常之多 ， 但在这裏就未有打算将它们一一尽录了 。

另一个「无字证明」 ， 可以算是最巧妙和最简单的 ， 方法如下：

证明五

(a) (b)

图八

图八(a)和图二一样 ， 都是在一个大正方形中 ， 放置了4个直角三角形 。 留意图中浅黄色部分的面积等於 c2 。 现在我们将图八(a)中的 4 个直角三角形移位 ， 成为图八(b) 。 明显 ， 图八(b)中两个浅黄色正方形的面积之和应该是 a2 + b2 。 但由於(a)、(b)两图中的大正方形不变 ， 4 个直角三角形亦相等 ， 所以余下两个浅黄色部的面积亦应该相等 ， 因此我们就得到 a2 + b2 = c2 ， 亦即是证明了勾股定理 。

对於这个证明的出处 ， 有很多说法：有人说是出自中国古代的数学书；有人相信当年毕达哥拉斯就是做出了这个证明 ， 因而宰杀了一百头牛来庆祝 。 总之 ， 我觉得这是众多证明之中 ， 最简单和最快的一个证明了 。

不要看轻这个证明 ， 它其实包含著另一个意义 ， 并不是每一个人都容易察觉的 。 我现在将上面两个图「压扁」 ， 成为图九：

(a) (b)

图九

图九(a)中间的浅黄色部分是一个平行四边形 ， 它的面积可以用以下算式求得：mn sin(a + b) ， 其中 m 和 n 分别是两个直角三角形斜边的长度 。 而图九(b)中的浅黄色部分是两个长方形 ， 其面积之和是：(m cos a)(n sin b) + (m sin a)(n cos b) 。 正如上面一样 ， (a)、(b)两图浅黄色部分的面积是相等的 ， 所以将两式结合并消去共有的倍数 ， 我们得：sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a ， 这就是三角学中最重要的复角公式！原来勾股定理和这条复角公式是来自相同的证明的！

在证明二中 ， 当介绍完展开 (a + b)2 的方法之后 ， 我提出了赵爽的「弦图」 ， 这是一个展开 (a - b)2 的方法 。 而证明五亦有一个相似的情况 ， 在这裏 ， 我们除了一个类似 (a + b) 的「无字证明」外 ， 我们亦有一个类似 (a - b) 的「无字证明」 。 这方法是由印度数学家婆什迦罗（Bhaskara; 1114 - 1185）提出的 ， 见图十 。

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