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如何证明勾股定理，勾股定理是怎么得到的( 三 )

小知识


在稍后一点的《九章算术一书》中 ， 勾股定理得到了更加规范的一般性表达 。 书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘 ， 然后把它们的积加起来 ， 再进行开方 ， 便可以得到弦 。 ”把这段话列成算式 ， 即为：

弦=（勾2+股2）(1/2)

亦即：

c=（a2+b2）(1/2)

中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理 ， 而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明 。 最早对勾股定理进行证明的 ， 是三国时期吴国的数学家赵爽 。 赵爽创制了一幅“勾股圆方图” ， 用形数结合得到方法 ， 给出了勾股定理的详细证明 。 在这幅“勾股圆方图”中 ， 以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的 。 每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a ， 则面积为（b-a）2 。 于是便可得如下的式子：

4×（ab/2）+（b-a）2=c2

化简后便可得：

a2+b2=c2

亦即：

c=（a2+b2）(1/2)

图2 勾股圆方图

赵爽的这个证明可谓别具匠心 ， 极富创新意识 。 他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系 ， 既具严密性 ， 又具直观性 ， 为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范 。 以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展 。 例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法 ， 只是具体图形的分合移补略有不同而已 。
中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明 ， 在世界数学史上具有独特的贡献和地位 。 尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法 ， 更具有科学创新的重大意义 。 事实上 ， “形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件 。 正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中 ， 数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几何的发明 ， 正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续 。 ”
勾股定理证明评鉴

作者：梁子杰

勾股定理（又叫「毕氏定理」）说：「在一个直角三角形中 ， 斜边边长的平方等於两条直角边边长平方之和 。 」据考证 ， 人类对这条定理的认识 ， 少说也超过 4000 年！又据记载 ， 现时世上一共有超过 300 个对这定理的证明！

我觉得 ， 证明多 ， 固然是表示这个定理十分重要 ， 因而有很多人对它作出研究；但证明多 ， 同时令人眼花缭乱 ， 亦未能够一针见血地反映出定理本身和证明中的数学意义 。 故此 ， 我在这篇文章中 ， 为大家选出了 7 个我认为重要的证明 ， 和大家一起分析和欣赏这些证明的特色 ， 与及认识它们的历史背境 。

证明一

图一

在图一中 ， D ABC 为一直角三角形 ， 其中 D A 为直角 。 我们在边 AB、BC 和 AC 之上分别画上三个正方形 ABFG、BCED 和 ACKH 。 过 A 点画一直线 AL 使其垂直於 DE 并交 DE 於 L ， 交 BC 於 M 。 不难证明 ， D FBC 全等於 D ABD（S.A.S.） 。 所以正方形 ABFG 的面积 = 2 ′ D FBC 的面积 = 2 ′ D ABD 的面积 = 长方形 BMLD 的面积 。 类似地 ， 正方形 ACKH 的面积 = 长方形 MCEL 的面积 。 即正方形 BCED 的面积 = 正方形 ABFG 的面积 + 正方形 ACKH 的面积 ， 亦即是 AB2 + AC2 = BC2 。 由此证实了勾股定理 。

这个证明巧妙地运用了全等三角形和三角形面积与长方形面积的关系来进行 。 不单如此 ， 它更具体地解释了 ， 「两条直角边边长平方之和」的几何意义 ， 这就是以 ML 将正方形分成 BMLD 和 MCEL 的两个部分！

这个证明的另一个重要意义 ， 是在於它的出处 。 这个证明是出自古希腊大数学欧几里得之手 。

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