草丁图书馆

  1. 首页 > 生活杂烩 >

如何证明勾股定理，勾股定理是怎么得到的( 四 )

小知识



欧几里得（Euclid of Alexandria）约生於公元前 325 年 ， 卒於约公元前 265 年 。 他曾经在古希腊的文化中心亚历山大城工作 ， 并完成了著作《几何原本》 。 《几何原本》是一部划时代的著作 ， 它收集了过去人类对数学的知识 ， 并利用公理法建立起演绎体系 ， 对后世数学发展产生深远的影响 。 而书中的第一卷命题 47 ， 就记载著以上的一个对勾股定理的证明 。

证明二

图二

图二中 ， 我们将4个大小相同的直角三角形放在一个大正方形之内 ， 留意大正方形中间的浅黄色部分 ， 亦都是一个正方形 。 设直角三角形的斜边长度为 c ， 其余两边的长度为 a 和 b ， 则由於大正方形的面积应该等於 4 个直角三角形和中间浅黄色正方形的面积之和 ， 所以我们有

(a + b)2 = 4(1/2 ab) + c2
展开得 a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
化简得 a2 + b2 = c2

由此得知勾股定理成立 。

证明二可以算是一个非常直接了当的证明 。 最有趣的是 ， 如果我们将图中的直角三角形翻转 ， 拼成以下的图三 ， 我们依然可以利用相类似的手法去证明勾股定理 ， 方法如下：

图三

由面积计算可得 c2 = 4(1/2 ab) + (b - a)2
展开得 = 2ab + b2 - 2ab + a2
化简得 c2 = a2 + b2（定理得证）

图三的另一个重要意义是 ， 这证明最先是由一个中国人提出的！据记载 ， 这是出自三国时代（即约公元 3 世纪的时候）吴国的赵爽 。 赵爽为《周髀算经》作注释时 ， 在书中加入了一幅他称为「勾股圆方图」（或「弦图」）的插图 ， 亦即是上面图三的图形了 。

证明三

图四

图四一共画出了两个绿色的全等的直角三角形和一个浅黄色的等腰直角三角形 。 不难看出 ， 整个图就变成一个梯形 。 利用梯形面积公式 ， 我们得到∶

1/2(a + b)(b + a) = 2(1/2 ab) + 1/2 c2
展开得 1/2 a2 + ab + 1/2 b2 = ab + 1/2 c2
化简得 a2 + b2 = c2（定理得证）

有一些书本对证明三十分推祟 ， 这是由於这个证明是出自一位美国总统之手！

在 1881 年 ， 加菲（James A. Garfield； 1831 - 1881）当选成为美国第 20 任总统 ， 可惜在当选后 5 个月 ， 就遭行刺身亡 。 至於勾股定理的有关证明 ， 是他在 1876 年提出的 。

我个人觉得证明三并没有甚麼优胜之处 ， 它其实和证明二一样 ， 只不过它将证明二中的图形切开一半罢了！更何况 ， 我不觉得梯形面积公式比正方形面积公式简单！

又 ， 如果从一个老师的角度来看 ， 证明二和证明三都有一个共同的缺点 ， 它就是需要到恒等式 (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 了 。 虽然这个恒等式一般都包括在中二的课程之中 ， 但有很多学生都未能完全掌握 ， 由於以上两个证明都使用了它 ， 往往在教学上会出现学生不明白和跟不上等问题 。

证明四

(a) (b) (c)

图五

证明四是这样做的：如图五(a) ， 我们先画一个直角三角形 ， 然后在最短的直角边旁向三角形那一边加上一个正方形 ， 为了清楚起见 ， 以红色表示 。 又在另一条直角边下面加上另一个正方形 ， 以蓝色表示 。 接著 ， 以斜边的长度画一个正方形 ， 如图五(b) 。 我们打算证明红色和蓝色两个正方形面积之和 ， 刚好等於以斜边画出来的正方形面积 。

留意在图五(b)中 ， 当加入斜边的正方形后 ， 红色和蓝色有部分的地方超出了斜边正方形的范围 。 现在我将超出范围的部分分别以黄色、紫色和绿色表示出来 。 同时 ， 在斜边正方形内 ， 却有一些部分未曾填上颜色 。 现在依照图五(c)的方法 ， 将超出范围的三角形 ， 移入未有填色的地方 。 我们发现 ， 超出范围的部分刚好填满未曾填色的地方！由此我们发现 ， 图五(a)中 ， 红色和蓝色两部分面积之和 ， 必定等於图五(c)中斜边正方形的面积 。 由此 ， 我们就证实了勾股定理 。

推荐阅读


上一篇：如何拉屎，如何一分钟快速排便

下一篇：个人如何做电商，想学做电商不知道从哪里开始