双曲线的几何性质

【双曲线的几何性质】双曲线(Hyperbola)是指与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹,也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹.双曲线有两个分支. 在定义1中提到的两给定点称为该双曲线的焦点,定义2中提到的一给定点也是双曲线的焦点.双曲线有两个焦点. 在定义2中提到的给定直线称为该双曲线的准线. 在定义2中提到的到给定点与给定直线的距离之比,称为该双曲线的离心率. 双曲线有两个焦点,两条准线.(注意:尽管定义2中只提到了一个焦点和一条准线.但是给定同侧的一个焦点,一条准线以及离心率可以根据定义2同时得到双曲线的两支,而两侧的焦点,准线和相同离心率得到的双曲线是相同的.) 双曲线与两焦点连线的交点,称为双曲线的顶点. 双曲线有两条渐近线.

双曲线的几何性质

文章插图
1、轨迹上一点的取值范围:x≥a,x≤-a(焦点在x轴上)或者y≥a,y≤-a(焦点在y轴上) 。
 2、对称性:关于坐标轴和原点对称 。
 3、顶点:A(-a,0), A'(a,0) 。 同时 AA'叫做双曲线的实轴且∣AA'│=2a.
 B(0,-b), B'(0,b) 。 同时 BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b.
 4、渐近线:
 焦点在x轴:y=±(b/a)x.
 焦点在y轴:y=±(a/b)x. 圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时,表示双曲线 。 其中p为焦点到准线距离,θ为弦与X轴夹角 
 令1-ecosθ=0可以求出θ,这个就是渐近线的倾角 。 θ=arccos(1/e) 
 令θ=0,得出ρ=ep/1-e, x=ρcosθ=ep/1-e 
 令θ=PI,得出ρ=ep/1 e ,x=ρcosθ=-ep/1 e 
 这两个x是双曲线定点的横坐标 。  
 求出他们的中点的横坐标(双曲线中心横坐标) 
 x=【(ep/1-e) (-ep/1 e)】/2 
 (注意化简一下) 
 直线ρcosθ=【(ep/1-e) (-ep/1 e)】/2 
 是双曲线一条对称轴,注意是不与曲线相交的对称轴 。  
 将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos(1/e)角度后就得到渐近线方程,设旋转后的角度是θ’ 
 则θ’=θ-【PI/2-arccos(1/e)】 
 则θ=θ’ 【PI/2-arccos(1/e)】 
 带入上式: 
 ρcos{θ’ 【PI/2-arccos(1/e)】}=【(ep/1-e) (-ep/1 e)】/2 
 即:ρsin【arccos(1/e)-θ’】=【(ep/1-e) (-ep/1 e)】/2 
 现在可以用θ取代式中的θ’了 
 得到方程:ρsin【arccos(1/e)-θ】=【(ep/1-e) (-ep/1 e)】/2
 5、离心率:
 第一定义: e=c/a 且e∈(1, ∞).
 第二定义:双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│ 与 点P到定直线(相应准线)的距离d 的比等于双曲线的离心率e.
 6、双曲线焦半径公式(圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离)
 右焦半径:r=│ex-a│
 左焦半径:r=│ex a│
 7、等轴双曲线 
 一双曲线的实轴与虚轴长相等 即:2a=2b 且 e=√2
 8、共轭双曲线 
 双曲线S'的实轴是双曲线S的虚轴 且 双曲线S'的虚轴是双曲线S的实轴时,称双曲线S'与双曲线S为共轭双曲线 。
 几何表达:S:(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 S':(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1 
 特点:(1)共渐近线 
 (2)焦距相等
 (3)两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1

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