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如何解一元二次不等式，一元二次不等式怎样求解( 四 )

小知识



证明：∵a＞b ，

∴a－b＞0．

由正数的相反数是负数 ， 得

－(a－b)＜0 ，

即b－a＜0 ，

∴b＜a．

(定理1的后半部分请同学们自证．)

定理1说明 ， 把不等式的左边和右边交换 ， 所得不等式与原不等式异向①．

①在两个不等式中 ， 如果每一个的左边都大于(或小于)右边 ， 这两个不等式就是同向不等式 ， 例如a2＋2＞a＋1 ， 3a2＋5＞2a是同向不等式；如果一个不等式的左边大于(或小于)右边 ， 而另一个不等式的左边小于(或大于)右边 ， 这两个不等式就是异向不等式 ， 例如a2＋3＞2a ， a2＜a＋5是异向不等式．

定理2 如果a＞b ， 且b＞c ， 那么a＞c．

证明：∵a＞b ， b＞c ，

∴a－b＞0 ， b－c＞0．

根据两个正数的和仍是正数 ， 得

(a－b)＋(b－c)＞0 ，

即a－c＞0 ，

∴a＞c．

根据定理1 ， 定理2还可以表示为：

如果c＜b ， 且b＜a ， 那么c＜a．

定理3 如果a＞b ， 那么a＋c＞b＋c．

证明：∵(a＋c)－(b＋c)

＝a－b＞0 ，

∴a＋c＞b＋c．

定理3说明 ， 不等式的两边都加上同一个实数 ， 所得不等式与原不等式同向．

想一想：如果a＜b ， 是否有a＋c＜b＋c？

利用定理3可以得出：

如果a＋b＞c ， 那么a＞c－b．

也就是说 ， 不等式中任何一项改变符号后 ， 可以把它从一边移到另一边．

推论 如果a＞b ， 且c＞d ， 那么a＋c＞b＋d．

证明：∵a＞b ，

∴a＋c＞b＋c． ①

∵c＞d ，

∴b＋c＞b＋d． ②

由①、②得 a＋c＞b＋d．

很明显 ， 这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加．这就是说 ， 两个或者更多个同向不等式两边分别相加 ， 所得不等式与原不等式同向．

定理4 如果a＞b ， 且c＞0 ， 那么ac＞bc；如果a＞b ， 且c＜0 ， 那么ac＜bc．

证明：ac－bc=(a－b)c．

∵a＞b ，

∴a－b＞0．

根据同号相乘得正 ， 异号相乘得负 ， 得

当c＞0时 ， (a－b)c＞0 ， 即

ac＞bc；

当c＜0时 ， (a－b)c＜0 ， 即

ac＜bc．

由定理4 ， 又可以得到：

推论1 如果a＞b＞0 ， 且c＞d＞0 ， 那么

ac＞bd．

同学们可以仿照定理3的推论证明定理4的推论1．

很明显 ， 这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘．这就是说 ， 两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘 ， 所得不等式与原不等式同向．由此 ， 我们还可以得到：

推论2 如果a＞b＞0 ， 那么an＞bn(n∈N ， 且n＞1)．

我们用反证法来证明．

这些都同已知条件a＞b＞0矛盾．

利用以上不等式的性质及其推论 ， 就可以证明一些不等式．

例3 已知a＞b ， c＜d ， 求证a－c＞b－d．

证明：由a＞b知a－b＞0 ， 由c＜d知d－c＞0．

∵(a－c)－(b－d)

=(a－b)＋(d－c)＞0 ，

∴a－c＞b－d．

证明：∵a＞b＞0 ，

即

又 c＜0 ，
参考资料：
回答者：☆贱习爱神♂ - 见习魔法师 二级 1-27 13:42
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解不等式
1．解不等式问题的分类
(1)解一元一次不等式．
(2)解一元二次不等式．
(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式．
①解一元高次不等式；
②解分式不等式；
③解无理不等式；
④解指数不等式；
⑤解对数不等式；
⑥解带绝对值的不等式；
⑦解不等式组．
2．解不等式时应特别注意下列几点：
(1)正确应用不等式的基本性质．

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