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如何证明无界

小知识


怎样判断一个函数有界无界 按定义证明
对于任意N ， 存在一个x0 = 2/（2N+1）pi 属于（0 ， 1）,当x=x0时有
1/X*sin1/X = （2N+1）pi/2 * sin（2N+1）pi/2 > N
所以无界
证明无界问题 首先比较一下无穷大和无界的区别 。 以数列为例（函数的情况类似） ， 无穷大的定义是：对任意的M>0 ， 存在N ， 使得n>M时 ， 有|xn|>M；而对于无界 ， 可以根据有界的定义及对偶法则得到定义：对任意M>0 ， 存在n ， 使得|xn|>M 。 对比这两个定义 ， 可以发现无穷大的要求要比无界高 ， 因为无穷大要求从数列的某一项起 ， 后面所有项都要可以大于任意给定的正数 ， 而无界只要求存在某些可以大于任意给定正数的项即可 ， 形象地说就是 ， 无穷大量整体是持续增大的 ， 只能有较小的波动 ， 而无界量增大过程中可以伴随着很大的波动（例如你的问题） 。 从定义还可以得到无穷大量一定无界 ， 但无界不一定是无穷大量 ， 也就是说无穷大比无界更“强”的概念 。 回到你的问题 ， 取数列xn=1/(2nπ+π/2) ， 则当n趋于∞时xn是趋于0+的 ， 这时yn=(2nπ+π/2)sin(2nπ+π/2)=2nπ+π/2可以大于任意给定正数M ， 因此y无界 ， 但是取另一数列xn=1/(2nπ) ， 则yn=(2nπ)sin(2nπ)=0 ， 即在x趋于0+的过程中y无限次取0 ， 这显然不满足无穷大的要求 ， 因此x趋于0+时y不是无穷大量 。
证明无界的方法 证明无界得满足：对于任意大的正数M,存在x∈[a,b],使得|f(x)|>M,则f(x)在[a,b]上无界你画出y=1/1-x图像 ， 可以看出其值域为负无穷到负一和负一到正无穷 ， 很显然不论你给的正数M 多大 ， 都有|f(x)|>M 。
如何证明函数f（x）为无界函数 设函数f(x)的定义域为D ， f(x)在集合D上有定义 。
如果存在数K1 ， 使得 f(x)≤K1对任意x∈D都成立 ， 则称函数f(x)在D上有上界 。
反之 ， 如果存在数字K2 ， 使得 f(x)≥K2对任意x∈D都成立 ， 则称函数f(x)在D上有下界 ， 而K2称为函数f(x)在D上的一个下界 。
如果存在正数M ， 使得 |f(x)|≤M 对任意x∈D都成立 ， 则称函数在D上有界 。 如果这样的M不存在 ， 就称函数f(x)在D上无界；等价于 ， 无论对于任何正数M ， 总存在x1属于X ， 使得|f(x1)|>M ， 那么函数f(x)在X上无界 。
此外 ， 函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界 。
扩展资料如果函数的值域为一个数到另一个数 ， 比如[a,b],若ab都是确定的实数 ， 如[1,10]那他就是有界的.
无界函数的值域是带无穷的 ， 比如[1,正无穷]
例如f（x）=x^2,x属于R 。 它就是无界函数 。
而f（x）=x  ， x属于[1,2],它就是有界函数 。

如何证明函数在某个区间内有界或者无界 反证法：
【如何证明无界】假设A=a*sina是函数的上界 ， 即对(0,+无穷)上所有实数 ， 均有F(x)=xsinx<=A ， 此时sina必大于0 。
但当x=a+2π时 ， 有F(a+2π)=（a+2π）*sin（a+2π）=（a+2π）*sina 
因为a+2π>a ， sina>0 ， 所以F(a+2π)=（a+2π）
*sina>a*sina=A 
因此相矛盾了 。
所以函数f（x）为无界函数 。
扩展资料：

有界函数的图形必介于两条平行于x轴的直线y=-M和y=M之间（当自变量为x时） ， 笼统地说某个函数是有界函数或无界函数是不确切的 ， 必须指明所考虑的区间 。

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