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如何判断函数的奇偶性，函数值域怎么算

小知识


如何判断函数奇偶性 判定奇偶性四法：
（1）定义法
用定义来判断函数奇偶性，是主要方法 . 首先求出函数的定义域，观察验证是否关于原点对称. 其次化简函数式，然后计算f(-x)，最后根据f(-x)与f(x)之间的关系，确定f(x)的奇偶性.
（2）用必要条件.
具有奇偶性函数的定义域必关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要条件.
例如，函数y=的定义域(-∞，1)∪(1，+∞)，定义域关于原点不对称，所以这个函数不具有奇偶性.
（3）用对称性.
若f(x)的图象关于原点对称，则 f(x)是奇函数.
若f(x)的图象关于y轴对称，则 f(x)是偶函数.

（4）用函数运算.
如果f(x)、g(x)是定义在D上的奇函数，那么在D上，f(x)+g(x)是奇函数，f(x)?g(x)是偶函数. 简单地，“奇+奇=奇，奇×奇=偶”.
类似地，“偶±偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇”.
扩展资料：

奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性 。
即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上是减函数（增函数） 。 但由单调性不能倒导其奇偶性 。 验证奇偶性的前提要求函数的定义域必须关于原点对称 。
说明：
①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言 。
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性 。
（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与 比较得出结论）
③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义 。
④如果一个奇函数  在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0 。 并且关于原点对称 。
⑤如果函数定义域不是关于原点对称或不符合奇函数、偶函数的条件则叫做非奇非偶函数 。 例如 [  ]或[  ]（定义域不关于原点对称）
⑥如果函数既符合奇函数又符合偶函数，则叫做既奇又偶函数 。 例如 
注：任意常函数（定义域关于原点对称）均为偶函数，只有  是既奇又偶函数
偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数 。
奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数 。
定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形 。
f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称
点（x，y）→（-x，-y）
奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增 。
偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减 。
性质：

1、大部分偶函数没有反函数（因为大部分偶函数在整个定义域内非单调函数） 。
2、偶函数在定义域内关于y轴对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同 。
3、奇±奇=奇（可能为既奇又偶函数） 偶±偶=偶（可能为既奇又偶函数） 奇X奇=偶 偶X偶=偶 奇X偶=奇（两函数定义域要关于原点对称）.
4、对于F（x）=f[g(x)]：
若g(x）是偶函数且f（x）是偶函数，则F[x]是偶函数 。
若g(x) 是偶函数且f（x）是奇函数，则F[x]是偶函数 。
若g(x）是奇函数且f(x）是奇函数，则F[x]是奇函数 。

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