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如何证明四点共圆，如何判断四点共圆( 二 )

小知识


因为角ADB = 角 DCB 因此ABCD四点共圆 （*）
于是角DAC = 角DBC
我想你是不明白（*）处的证明 简证如下：
做三角形ABD的外接圆 令其为圆M（M为圆心）， 若C点在圆M的内部
延长MC得到C‘ 易有 角MCB>角MC'B； 角MCD>角MC'D 于是有： 角BCD>角BC'D=角DAB 矛盾！
C在圆外部的证明也是同样的 此时角BCD<角DAB， 因此C点在圆M上 于是ABCD四点共圆
证毕
证明四点共圆有哪些方法 四点共圆

证明四点共圆的基本方法
证明四点共圆有下述一些基本方法：
方法1

从被证共圆的四点中先选出三点作一圆， 然后证另一点也在这个圆上， 若能证明这一点， 即可肯定这四点共圆 。
方法2

把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形， 且两三角形都在这底边的同侧， 若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等）， 从而即可肯定这四点共圆． （若能证明其两顶角为直角， 即可肯定这四个点共圆， 且斜边上两点连线为该圆直径 。 ）
方法3

把被证共圆的四点连成四边形， 若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时， 即可肯定这四点共圆 。
方法4

把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段， 若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等， 即可肯定这四点共圆（根据相交弦定理?的逆定理）；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段， 若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积， 即可肯定这四点也共圆 。 （根据托勒密定理的逆定理）
方法5

证被证共圆的点到某一定点的距离都相等， 从而确定它们共圆．既连成的四边形三边中垂线有交点， 即可肯定这四点共圆．
上述五种基本方法中的每一种的根据， 就是产生四点共圆的一种原因， 因此当要求证四点共圆的问题时， 首先就要根据命题的条件， 并结合图形的特点， 在这五种基本方法中选择一种证法， 给予证明．
判定与性质：
圆内接四边形的对角和为180°,并且任何一个外角都等于它的内对角 。
如四边形ABCD内接于圆O， 延长AB和DC交至E， 过点E作圆O的切线EF， AC、BD交于P， 则A+C=π， B+D=π，
角DBC=角DAC（同弧所对的圆周角相等） 。
角CBE=角ADE（外角等于内对角）
△ABP∽△DCP（三个内角对应相等）
AP*CP=BP*DP（相交弦定理）
EB*EA=EC*ED（割线定理）
EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割线定理）
（切割线定理， 割线定理， 相交弦定理统称圆幂定理）
AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy）
弦切角定理
方法6
同斜边的两个RT三角形的四个顶点共圆， 其斜边为圆的直径 。

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