收敛半径 r 是一个非负的实数或无穷大（）， 使得在 | z a | < r 时幂级数收敛， 在 | z a | > r 时幂级数发散 。
具体来说， 当 z 和 a 足够接近时， 幂级数就会收敛， 反之则可能发散 。 收敛半径就是收敛区域和发散区域的分界线 。 在 |z - a| = r 的收敛圆上， 幂级数的敛散性是不确定的：对某些 z 可能收敛， 对其它的则发散 。 如果幂级数对所有复数 z 都收敛， 那么说收敛半径是无穷大 。
根据达朗贝尔审敛法， 收敛半径R满足：如果幂级数满足， 则：
- ρ是正实数时， 。
ρ = 0时， 。
时， R = 0 。
根据根值审敛法， 则有柯西-阿达马公式： - 或者 。
将一个收敛半径是正数的幂级数的变量取为复数， 就可以定义一个全纯函数 。 收敛半径可以被如下定理刻画：
一个中心为 a 的幂级数 f 的收敛半径 R 等于 a 与离 a 最近的使得函数不能用幂级数方式定义的点的距离 。
到 a 的距离严格小于 R 的所有点组成的集合称为收敛圆盘 。
最近点的取法是在整个复平面中， 而不仅仅是在实轴上， 即使中心和系数都是实数时也是如此 。 例如：函数
没有复根 。 它在零处的泰勒展开为：
运用达朗贝尔审敛法可以得到它的收敛半径为1 。 与此相应的， 函数 f(z) 在 ±i 存在奇点， 其与原点0的距离是1 。
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