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什么是充分条件

小知识

1.对充要条件的理解
对于命题“若p则q” ， 即p是条件 ， q为结论.
(1)如果已知p
q ， 我们就说p是q的充分条件 ， q是p的必要条件.
例如 ， “若x=y,x2=y2”是一个真命题 ， 可写成
x=y
x2=y2
“x=y”是“x2=y2”的充分条件 ，
“x2=y2”是“x=y”的必要条件.
(2)如果既有p
q ， 又有q
p ， 就记作
p
q.
这时 ， p既是q的充分条件 ， 又是q的必要条件 ， 我们就说p是q的充分必要条件 ， 简称充要条件.
例如 ， 命题p：x+2是无理数 ，
命题q：x是无理数.
由于“x+2是无理数”
“x是无理数” ， 所以p是q的充要条件.

什么是充分条件

文章插图
2.从逻辑推理关系上看
充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念 ， 主要是用来区分命题的条件p和结论q之间的下列关系：
①若p
q ， 但q
p ， 则p是q的充分但不必要条件；
②若q
p ， 但p
q ， 则p是q的必要但不充分条件；
③若p
q ， 但q
p ， 则p是q的充要条件；
④若p
q ， 且┒p
┒q ， 则p是q的充要条件；
⑤若p
p ， 且q
p ， 则p既不是q的充分条件 ， 也不是q的必要条件.
3.从集合与集合之间关系上看
若条件p以集合A的形式出现 ， 结论q以集合B的形式出现 ， 则
①A
B ， 则p是q的充分条件；
②若A
B ， 则p是q的必要条件；
③若A＝B ， 则p是q的充要条件；
④若AB ， 且AB ， 则p既不是q的充分条件 ， 也不是q的必要条件.
从集合的观点来判断充要条件的思考方法 ， 可以进一步加深对充要条件的理解.
4.应用充分条件 ， 必要条件 ， 充要条件时须注意的问题.
(1)充分而不必要条件 ， 必要而不充分条件 ， 充要条件 ， 既不充分也不必要条件 ， 反映了条件p和结论q之间的因果关系 ， 在结合具体问题进行判断时 ， 要注意以下几点：
①确定条件是什么 ， 结论是什么；
②尝试从条件推结论 ， 结论推条件；
③确立条件是结论的什么条件；
④要证明命题的条件是主要的 ， 就既要证明原命题成立 ， 又要证明它的逆命题成立 ， 证明原命题即证明条件的充分性 ， 证明逆命题即证明条件的必要性.
(2)对于充要条件 ， 要熟悉它的同义词语.
在解题时常常遇到与充要条件同义的词语 ， 如“当且仅当”“必须且只须”“等价于”“……反过来也成立”.准确地理解和使用数学语言 ， 对理解和把握数学知识是十分重要的.
【什么是充分条件】充分条件和必要条件的区别在于什么

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