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如何求导数，求导数的例题及解析( 二 )

小知识



导数是微积分中的重要概念 。 导数定义为， 当自变量的增量趋于零时， 因变量的增量与自变量的增量之商的极限 。 在一个函数存在导数时， 称这个函数可导或者可微分 。 可导的函数一定连续 。 不连续的函数一定不可导 。

物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示 。 如， 导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性 。

求导数的方法
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（1）求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：
① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
② 求平均变化率
③ 取极限， 得导数 。
（2）几种常见函数的导数公式：
① C'=0(C为常数)；
② (x^n)'=nx^(n-1) (n∈Q)；
③ (sinx)'=cosx；
④ (cosx)'=-sinx；
⑤ (e^x)'=e^x；
⑥ (a^x)'=a^xIna （ln为自然对数）

（3）导数的四则运算法则：
①(u±v)'=u'±v'
②(uv)'=u'v+uv'
③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2

（4）复合函数的导数
复合函数对自变量的导数， 等于已知函数对中间变量的导数， 乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则 。
导数是微积分的一个重要的支柱！

导数公式及证明
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这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程:
1.y=c(c为常数) y'=0
2.y=x^n y'=nx^(n-1)
3.y=a^x y'=a^xlna
y=e^x y'=e^x
4.y=logax y'=logae/x
y=lnx y'=1/x
5.y=sinx y'=cosx
6.y=cosx y'=-sinx
7.y=tanx y'=1/cos^2x
8.y=cotx y'=-1/sin^2x
9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2
10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2
11.y=arctanx y'=1/1+x^2
12.y=arccotx y'=-1/1+x^2
在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：
1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]?g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量， 而g'(x)中把x看作变量』
2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2
3.y=f(x)的反函数是x=g(y）， 则有y'=1/x'
证：1.显而易见， y=c是一条平行于x轴的直线， 所以处处的切线都是平行于x的， 故斜率为0 。 用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0 。
2.这个的推导暂且不证， 因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况 。 在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明 。
3.y=a^x,
⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)
⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x
如果直接令⊿x→0， 是不能导出导函数的， 必须设一个辅助的函数β＝a^⊿x-1通过换元进行计算 。 由设的辅助函数可以知道：⊿x=loga(1+β) 。
所以(a^⊿x-1)/⊿x＝β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β
显然， 当⊿x→0时， β也是趋向于0的 。 而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna 。
把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna 。
可以知道， 当a=e时有y=e^x y'=e^x 。
4.y=logax
⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x
⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x
因为当⊿x→0时， ⊿x/x趋向于0而x/⊿x趋向于∞， 所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)＝logae,所以有
lim⊿x→0⊿y/⊿x＝logae/x 。
可以知道， 当a=e时有y=lnx y'=1/x 。
这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了 。 因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,
所以y'=e^nlnx?(nlnx)'=x^n?n/x=nx^(n-1) 。
5.y=sinx
⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)
⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)
所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)?lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx
6.类似地， 可以导出y=cosx y'=-sinx 。
7.y=tanx=sinx/cosx
y'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x
8.y=cotx=cosx/sinx
y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x

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