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如何用最小二乘法验证平行轴定理，相关系数公式( 二 )

小知识


用最小二乘法验证平行轴定理 在刚体的质心C上建立另一个与平行的连体基 。 质心C相对于O的矢径为 。 质点Pk相对于点O与C的矢径分别为与 。 由图5-2可见 ， 这些矢径有如下关系

图5-2 不同基点转动惯量的关系 (5.1-5)

由于两基平行 ， 该矢量式在基上的坐标表达式为 (5.1-5')

其中为质心C矢径在基上的坐标阵 ， 为Pk的矢径在基上的坐标阵 。 将式(5.1-5')代入(5.1-2c) ， 有

(5.1-6)

考虑到矢径由质心C出发 ， 由质心的矢径与质点矢径间的关系式(2.3-24) ， 有

在连体基的坐标式为

， ，
(5.1-7)

因此式(5.1-6)右边的后两项为零 。 根据定义 ， 该式右边第一项为刚体相对于Cz轴的转动惯量JCz ， 即

(5.1-8)

右边第二项中的为Oz轴与Cz轴的垂直距离 ， 记为hz 。 这样式(5.1-6)变为

(5.1-9)

同理可得

(5.1-10)

式(5.1-9)与(5.1-10)描述的是刚体转动惯量的平行轴定理：刚体对任意轴的转动惯量等于它对过质心的平行轴转动惯量加上刚体的质量与两轴垂直距离平方的乘积 。

利用同样的方法可得到刚体关于O惯性积与关于C惯性积间的关系式

(5.1-11a)

(5.1-11b)
怎么用最小二乘法验证转动惯量的平行轴定理 推导平行轴定理的方法
方法一
刚体对任意轴的转动惯量 ， 等于刚体对通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量 ， 再加上刚体质量与两轴之间距离平方的乘积 ， 此为平行轴定理.关于此定理的验证 ， 采用三线摆和刚体转动实验仪来验证.在这里利用复摆验证平行轴定理的方法.
一 实验方法及公式推导
一个围绕定轴摆动的刚体就是复摆 ， 当摆动的振幅甚小时 ， 其振动周期 T 为
式中J为复摆对以O 为轴转动时的转动惯量 ， m 为复摆的质量 ， g 为当地的重力加速度 ， h 为摆的支点O 到摆的质心 G 的距离. 又设复摆对通过质心 G 平行O 轴的轴转动时的转动惯量为 JG ， 根据平行轴定理得:
而JG又可写成 JG= m k 2,k 就是复摆的回转半径 ， 由此可将⑴式改成为
整理⑶式得：
当 h= h1 时 ， I1= JG + mh12 ， 式中h1为支点O1到摆的质心G的距离 ， J1是以O1为轴时的转动惯量.同理有：
⑷- ⑸得：
上式反映出转轴位置对转动的影响 ， 也是对平行轴定理的检验.在⑹式中令 y= T2h- T12h1,x = h2-h12 ， 则⑹式变为
从测量可得出 n 组（x,y) 值 ， 用最小二乘法求出拟合直线y= a+ bx及相关系数r ， 若r接近于1 ， 说明x与y二者线性相关 ， 平行轴定理得到验证； 或作T2h- T12h1对h2-h12图线 ， 若到检验为一直线 ， 平行轴定理亦得.

方法二
测量举例
1） 测量步骤
a. 测定重心 G 的位置 SG
将复摆水平放在支架的刀刃上 ， 利用杠杆原理寻找 G 点的位置.
b. 量出各支点对应的 h 值.
c. 测出复摆绕各支点摆动的周期 T 摆角小于 （5°改变支点 10 次).
2） 数据记录
各支点对应的 h 值及周期T见表1.
3） 数据处理
取 h1= 6 cm,T1= 1.51 s ， 根据测量数据可得出10组（x,y）值 ， 见表2
根据最小二乘法求出参数 a,b ， 得出
a= 21×10-2 cm ·s 2,Sa = 18×1010-2 cm s 2
b= 0. 0411s 2 ·cm-1,Sb = 0. 0005 s 2 ·cm-1
r= 0. 999375
在此实验中 ， 误差的主要来源是偶然误差 ， 所以只计算A 类标准不确定度作为总的不确定度 ， 略去B 类不确定度.结果 a,b 的不确定度为：
u(a) = 18×10-2 cm ·s 2
u (b) = 0. 0005 s 2 ·cm-1
平行轴定理
最后结果为：
a= （21±18） ×10-2 cm ·s 2
b= 0. 0411±0. 0005 s 2 ·cm-1
r= 0. 999375
从最后结果可以看出 ， x 与 y 二者完全线性相关 ， 平行轴定理得到验证.
如何验证平行轴定理? 【如何用最小二乘法验证平行轴定理，相关系数公式】

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