如何解三元一次方程组，三元一次方程组例题和详细解释( 二 )

例如，三元一次方程：
...
当时，
解三元一次方程组的基本思想仍是消元，其基本方法是代入消元法和加减消元法。
步骤：
①利用代入法或加减法，消去一个未知数，得到一个二元一次方程组；
②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；

③将这两个未知数的值代入原方程中含有三个未知数的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个未知数的值用一个大括号写在一起就是所求的三元一次方程组的解。
一次方程组，原方程组中的每个方程至少要用一次。
参考资料：

三元一次方程组怎么解如何解三元一次方程组含有三个未知数、并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程、叫做三元一次方程，而由三个一次方程组成、并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。例如：3X+2Y+Z=B 2X+Y=3X+Y+2Z=7 3X-Z=7 等都是三元一次方程组。 2X+3Y-Z=12 X-Y+3Z=0 如何解三元一次方程组呢？三元一次方程组与二元一次方程组的解法是一样的，无论是加减法还是代入法、其目的都是消元、使三元转化为二元、二元转化为一元、然后解一元一次方程、求未知数的值，再代入适当的方程求出消去的未知数的值，从而得出方程的解。逐步消元是解三元一次方程组的思路和方法、而三元一次方程组一般比二元一次方程组复杂、因此在解方程组前应首先观察方程组之中各个方程的特点，确定先消哪一个未知数较为简便，一般原则为：（1）消去系数最简单的未知数（2）消去某个方程中缺少的未知数（3）消去系数成整数倍的未知数、在“消元”过程重要保证每个方程至少用一次 3X+4Z=23 （1）例2解方程组 5X+Y=8 （2） 6X+Y+8Z=49（3）分析；此题的选择性较大、特点（1）（2）各缺少一个未知数、常规解法：如选择（2）不变则可由（1）（3）联合消去Z；如选择（1）不变、则可用（2）（3）联合消去Y（利用加减法）；还可采用代入法、将（1）（2）变形、用含有X的代数式分别表示Z和Y、代入（3）、则可求出X的值来。另外观察方程组特点、因方程（3）可变形为2（3X+4Z）+Y=49故可马上求得未知数Y=3解：用（3）得2（3X+4Z）+Y=49（4）把Y=3代入（2）得X=1把（1）代入（4）得 2X+23+Y=49 把X=1代入（1）得Z=5 X=1 Y=3 Z=5 是方程组的解 3X+4Y+Z=14（1）例1解方程组 X+5Y+2Z=17（2） 2X+2Y-Z=3 （3）解：方法1.用（3）得Z=2X+2Y-3（4）方法2.（1）+（3）得5X+6Y=17把4代入（2）得（2）+（3）×2得5X+9Y=23X+5Y+2（2X+2Y-3）=17 同方法（1）可求得X=1那5X+6Y=17 Y=2把（4）代入（2）得 Z=3X+5Y+2（2X+2Y-3）=17 方法3.（2）+（3）-（1）得3Y=6即 5X+9Y=23 ∴ Y=2解用（5）（6）组成的二元一次方程组把Y=2分别代入（1）和（3）得得 X=1 Y=2 3X+Z=6 解得 X=1把 X=1 Y=2 代入（4）得Z=3 2X-Z=-1 Z=3X=1 X=1∴ Y=2 ∴ Y=2 Z=3 Z=3 说明：方法1.应用代入法、当方程组中有一个方程的未知数系数较简单（一般这个系数为±1最佳以免出现分数）或某一个方程缺少一个未知数时、可考虑代入法；方法2.用的是加减法、考虑到Z的系数较简单、故先设法消去Z方法3.根据题目特点连续运用加减法、一次性消去未知数X、Z这种解法带有技巧、想发现技巧需仔细观察未知数系数的特点正如例2的这种解法那样、对于一些特殊的题目不一定要从“三元”转化为“二元”有时经过一次代入或一次加减就能得到一个一元一次方程、这需要同学们于观察、分析和总结，通过一定的练习、掌握好“消元”的技巧、以迅速正确地达到求解的目的。请再看下面的例题 a+b+8=3c(1) 例3解方程组 b+c+4=3a(2)c+a-13=3y(3) 分析；这个方程组可用代入法也可用加减法进行消元、但通过观察可以发现三个方程很有特点、若将三个方程加起来、很容易求出a+b+c的值、然后再分别减去方程组中的三个方程、很快就可以求出 X、Y、Z的值解：(1)+(2)+(3)得2（a+b+c）-1=3(a+b+c) ∴ a+b+c= -1 (4) (4)-(1)得 C-8=-1-3C C= (4)-(2)得 a-4= -1-3a ∴ a=把a= c= 代入(4)得 ∴ b= a= b= c= 2X+Y+Z=15 (1) 例4解方程组 X+2Y+Z=16 (2) X+Y=2Z=17 (3) 分析：这个方程组的特点是：三个方程中未知项系数之和相等、故除能采用常规的加减法或代入法外、有一种特殊的解法就是将三个方程直接相加可迅速求解。解：(1)+(2)+(3)得 4（X+Y+Z）=48 X+Y+Z=12(4)-(1)得 X=3 (4)-(2)得 Y=4(4)-(3)得 Z=5 X≠3∴ Y=4Z=5

如何解三元一次方程组，三元一次方程组例题和详细解释( 二 )

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