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如何判断奇偶函数，怎么看函数的奇偶性

小知识


怎么判断函数的奇偶性？ 奇偶性
1．定义

一般地， 对于函数f(x)

（1）如果对于函数定义域内的任意一个x， 都有f(-x)=-f(x)， 那么函数f(x)就叫做奇函数 。

（2）如果对于函数定义域内的任意一个x， 都有f(-x)=f(x)， 那么函数f(x)就叫做偶函数 。

（3）如果对于函数定义域内的任意一个x， f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立， 那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数， 称为既奇又偶函数 。

（4）如果对于函数定义域内的任意一个x， f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立， 那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数， 称为非奇非偶函数 。

说明：①奇、偶性是函数的整体性质， 对整个定义域而言

②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称， 如果一个函数的定义域不关于原点对称， 则这个函数一定不是奇（或偶）函数 。

（分析：判断函数的奇偶性， 首先是检验其定义域是否关于原点对称， 然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）

③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义

2．奇偶函数图像的特征：

定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图表， 偶函数的图象关于y轴或轴对称图形 。
f(x)为奇函数《＝＝》f(x)的图像关于原点对称
点（x,y）→（-x,-y）

奇函数在某一区间上单调递增， 则在它的对称区间上也是单调递增 。
偶函数 在某一区间上单调递增， 则在它的对称区间上单调递减 。
单调函数
一般地， 设函数f(x)的定义域为I：

如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数 。

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数 。 那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性， 这一区间叫做y= f(x)的单调区间， 在单调区间上增函数的图像是上升的， 减函数的图像是下降的 。

注意：（1）函数的单调性也叫函数的增减性；

（2）函数的单调性是对某个区间而言的， 它是一个局部概念；

（3）判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤有两种主要方法：
1）定义法
a.设x1、x2∈给定区间， 且x1<x2.

b.计算f(x1)- f(x2)至最简 。

c.判断上述差的符号 。
2）求导法
利用导数公式进行求导， 然后判断导函数和0的大小关系， 从而判断增减性， 导函数值大于0， 说明是增函数， 导函数值小于0， 说明是减函数， 前提是原函数必须是连续的 。
怎么判断函数奇偶性？ 1 先分解函数为常见的一般函数， 比如多项式x^n， 三角函数， 判断奇偶性
2 根据分解的函数之间的运算法则判断， 一般只有三种种f(x)g(x)、f(x)+g(x）， f(g(x))（除法或减法可以变成相应的乘法和加法）
3 若f（x）、g(x）其中一个为奇函数， 另一个为偶函数， 则f(x)g(x)奇、f(x)+g(x）非奇非偶函数， f(g(x))奇
4 若f（x）、g(x）都是偶函数， 则f(x)g(x)偶、f(x)+g(x）偶， f(g(x))偶
5 若f（x）、g(x）都是奇函数， 则f(x)g(x)偶、f(x)+g(x）奇， f(g(x))奇
扩展资料：
偶函数：若对于定义域内的任意一个x， 都有f(-x)=f(x)， 那么f(x)称为偶函数 。
奇函数：若对于定义域内的任意一个x， 都有f(-x)=-f(x)， 那么f(x)称为奇函数 。
定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表， 偶函数的图象关于y轴成轴对称图形 。
【如何判断奇偶函数，怎么看函数的奇偶性】f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称
点（x， y）→（-x， -y）
奇函数在某一区间上单调递增， 则在它的对称区间上也是单调递增 。

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