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怎么求基础解系，只有一个方程怎么求基础解系

小知识


这个基础解系怎么求 A是一个n阶方阵,r(A)=n-1
所以AX=0的基础解系的解向量的个数为1
又A的每一行元素加起来均为1
则A(1,1,...,1)^T=(1,1,...,1)^T
所以x=(1,1,...,1)^T是AX=0的一个解向量
所以AX=0的基础解系是X=k(1,1,...,1)^T
k是任意整数
线性代数题 ， 基础解系怎么求 通过分别令自由变量为1 ， 解出其它变量 ， 得到一个解向量 。
基础解系需要满足三个条件：
1、基础解系中所有量均是方程组的解 。
2、基础解系线性无关,即基础解系中任何一个量都不能被其余量表示 。
3、方程组的任意解均可由基础解系线性表出 ， 即方程组的所有解都可以用基础解系的量来表示 。
值得注意的是基础解系不是唯一的 ， 因个人计算时对自由未知量的取法而异 。
扩展资料：
先求出齐次或非齐次线性方程组的一般解 ， 即先求出用自由未知量表示独立未知量的一般解的形式 ， 然后将此一般解改写成向量线性组合的形式 ， 则以自由未知量为组合系数的解向量均为基础解系的解向量 。
由此易知 ， 齐次线性方程组中含几个自由未知量 ， 其基础解系就含几个解向量 。 先确定自由未知量 ， 可以设AX=b的系数矩阵A的秩为r ， 并假设A经过初等行变换化 。

怎么求基础解系 基础解系：齐次线性方程组的解集的极大线性无关组称为该齐次线性方程组的基础解系 。
1、对系数矩阵A进行初等行变换 ， 将其化为行阶梯形矩阵；
2、若r(A)=r=n（未知量的个数） ， 则原方程组仅有零解 ， 即x=0 ， 求解结束；
若r(A)=r<n（未知量的个数） ， 则原方程组有非零解 ， 进行以下步骤：
3、继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵 ， 并写出同解方程组；
4、选取合适的自由未知量 ， 并取相应的基本向量组 ， 代入同解方程组 ， 得到原方程组的基础解系
扩展资料：
基础解系的性质：
基础解系是线性无关的 ， 简单的理解就是能够用它的线性组合表示出该方程组的任意一组解 ， 是针对有无数多组解的方程而言的 。 基础解系不是唯一的 ， 因个人计算时对自由未知量的取法而异 ， 但不同的基础解系之间必定对应着某种线性关系 。
基础解系是针对有无数多组解的方程而言 ， 若是齐次线性方程组则应是有效方程的个数少于未知数的个数 ， 若非齐次则应是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩 ， 且都小于未知数的个数 。

如何求基础解系 “主元为x1
x3
x4后 ， 自由未知量x2
x5” 。 x1 ， x3 ， x4的值取决于自由未知量x2 ， x5的值 。
举例说明：
方程组：
x1－x2－x3+x4＝0
x1－x2+x3－3x4＝0
x1－x2－2x3+3x4＝0
系数矩阵A经过初等行变换化为（化成行最简形）：
1 ， －1 ， 0 ， －1
0 ，
0 ， 1 ， －2
0 ，
0 ， 0 ，
0
A的秩等于2<4 ， 所以方程组有非零解 。
与原方程组通解的方程组是：
x1－x2
－x4＝0
x3－2x4＝0
有二个未知量是自由未知量 ， 比如取x2 ， x4为自由未知量 ， 则
x1＝x2+x4
x3＝2x4
设x2＝c1 ， x4＝c2 ， 则x1＝c1+c2 ， x3＝2c2 ， 方程组的通解是：
x＝（c1+c2 ， c1 ， 3c2 ， c2）＝c1（1 ， 1 ， 0 ， 0）+c2（0 ， 0 ， 2 ， 1）
这里可以证明（1 ， 1 ， 0 ， 0） ， （0 ， 0 ， 2 ， 1）线性无关 ， 所以它们就是方程组的基础解系 。 而这个基础解系的由来可以看作是让自由未知量x2 ， x4分别取（1 ， 0）和（0 ， 1）后得到两个的解向量 。 （之所以取（1 ， 0）和（0 ， 1）是为了保证线性无关）
所以一般的解法就是先求基础解系 ， 再表示通解 。 方法就是初等变换后得到通解方程组 ， 确定自由未知量 ， 让自由未知量取形如（1 ， 0 ， 0 ， ... ， 0） ， （0 ， 1 ， 0 ， ... ， 0） ， ... ， （0 ， 0 ， 0 ， ... ， 1）的值 ， 对应的解向量就是基础解系 。

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