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勾股定理怎么证明

小知识

欧几里得证法：
在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明 。 设△ABC为一直角三角形 ， 其中A为直角 。 从A点划一直线至对边 ， 使其垂直于对边 。 延长此线把对边上的正方形一分为二 ， 其面积分别与其余两个正方形相等 。
在这个定理的证明中 ， 我们需要如下四个辅助定理：
1、如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等 ， 则两三角形全等 。 （SAS）
2、三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半 。
3、任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积 。
4、任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3） 。
 
证明的思路为：从A点划一直线至对边 ， 使其垂直于对边 。 延长此线把对边上的正方形一分为二 ， 把上方的两个正方形 ， 通过等高同底的三角形 ， 以其面积关系 ， 转换成下方两个同等面积的长方形 。

勾股定理怎么证明

文章插图

设△ABC为一直角三角形 ， 其直角为∠CAB 。
其边为BC、AB和CA ， 依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH 。
画出过点A之BD、CE的平行线 ， 分别垂直BC和DE于K、L 。
分别连接CF、AD ， 形成△BCF、△BDA 。
∠CAB和∠BAG都是直角 ， 因此C、A和G共线 ， 同理可证B、A和H共线 。
∠CBD和∠FBA都是直角 ， 所以∠ABD=∠FBC 。
因为AB=FB ， BD=BC ， 所以△ABD≌△FBC 。
因为A与K和L在同一直线上 ， 所以四边形BDLK=2△ABD 。
因为C、A和G在同一直线上 ， 所以正方形BAGF=2△FBC 。
因此四边形BDLK=BAGF=AB² 。
同理可证 ， 四边形CKLE=ACIH=AC² 。
把这两个结果相加 ， AB²+AC²=BD×BK+KL×KC
由于BD=KL ， BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC
由于CBDE是个正方形 ， 因此AB²+AC²=BC² ， 即a²+b²=c² 。
扩展资料：勾股定理意义：
1、勾股定理的证明是论证几何的发端 。
2、勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理 ， 即它是第一个把几何与代数联系起来的定理 。
【勾股定理怎么证明】3、勾股定理导致了无理数的发现 ， 引起第一次数学危机 ， 大大加深了人们对数的理解 。
4、勾股定理是历史上第—个给出了完全解答的不定方程 ， 它引出了费马大定理 。
5、勾股定理是欧氏几何的基础定理 ， 并有巨大的实用价值．这条定理不仅在几何学中是一颗光彩夺目的明珠 ， 被誉为“几何学的基石” ， 而且在高等数学和其他科学领域也有着广泛的应用 。
6、1971年5月15日 ， 尼加拉瓜发行了一套题为“改变世界面貌的十个数学公式”邮票 ， 这十个数学公式由著名数学家选出的 ， 勾股定理是其中之首 。

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