科学探索|麻省理工学院的数学家们解决了一个关于等边线的古老几何问题麻省理工学院的数学家们解决

在高维空间中，有多少条线能以相同的角度成对分开？几何学上的突破使人们对谱图理论有了新的认识。等角线是空间中通过一个点的线，其对角都是相等的。想象一下二维的正六边形的三条对角线，三维的正二十面体的六个对顶点的连接线（见图）。然而，数学家们并不把假设的情况局限于三维空间。

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数学助理教授赵宇飞说："在高维度上，事情真的变得很有趣，而且可能性似乎是无限的。但根据赵和他的麻省理工学院的数学家团队，他们并不是无限的，他们试图解决这个关于高维空间中线的几何问题。这是一个研究人员已经困惑了至少70年的问题。他们的突破性研究决定了可以放置的线条的最大可能数量，以便这些线条以相同的给定角度成对分开。

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Xiaodong Zhao与麻省理工学院的一组研究人员一起写了这篇论文，这组研究人员包括本科生Yuan Yao和Shengtong Zhang、博士生Jonathan Tidor和博士后Zilin Jiang 。Yao最近开始成为麻省理工学院的数学博士生，而江现在是亚利桑那州立大学的一名教师）。)他们的论文将发表在2022年1月的《数学年鉴》上。
等角线的数学可以用图论进行编码。这篇论文为一个被称为谱图理论的数学领域提供了新的见解，它为研究网络提供了数学工具。谱图理论带来了计算机科学中的重要算法，如Google用于其搜索引擎的PageRank算法。
这种对等角线的新理解对编码和通信有潜在的影响。等角线是"球形编码"的例子，它是信息理论中的重要工具，允许不同方面在一个嘈杂的通信渠道上相互发送信息，例如美国国家航空航天局与其火星车之间发送的信息。
研究具有给定角度的最大数量的等角线的问题是在1973年P.W.H. Lemmens和J.J. Seidel的一篇论文中提出的。
普林斯顿大学数学教授诺加-阿隆（Noga Alon）说："这是一个美丽的结果，为极端几何学中的一个精心研究的问题提供了一个令人惊讶的答案，这个问题从60年代开始就受到了相当多的关注。"
"当时有一些好的想法，但后来人们被难住了近三十年，"Zhao说。几年前，包括瑞士联邦理工学院（ETH）苏黎世分校数学教授Benny Sudakov在内的研究团队取得了一些重要进展，当时Sudakov在组合学研究研讨会上谈到了他在等角线方面的工作。
Jiang在卡内基梅隆大学的前博士生导师Bukh Boris的工作基础上受到启发，开始研究等角线的问题。Jiang和Zhao在2019年夏天组队，并邀请Tidor、Yao和Zhang加入。
这项研究得到了Alfred P. Sloan基金会和国家科学基金会的部分支持。Yao和Zhang通过数学系的本科生研究暑期项目（SPUR）参与了这项研究，而Tidor是他们的研究生导师。他们的成果为他们赢得了数学系的Hartley Rogers Jr. 最佳SPUR论文奖。"这是SPUR项目最成功的成果之一，不是每天都有一个长期的开放性问题得到解决的。"
解决方案中使用的关键数学工具之一被称为谱图理论。谱图理论告诉我们如何使用线性代数的工具来理解图和网络。图的"频谱"是通过将图变成矩阵并查看其特征值而获得的。
"这就像你把一束强烈的光照在一个图上，然后检查出来的颜色的光谱，"Zhao解释说。"我们发现，发射的光谱永远不可能过于集中在顶部附近。事实证明，关于图形光谱的这个基本事实从未被观察到。"